令$h(y)=f(x_0,y)$。由于$f$在$(x_0,y_0)$可微，$h$在$y_0$可导；而$f$在$(x_0,y_0)$取得极小值也使$h$在$y_0$取得极小值。

由一元函数极值的必要条件，$h^{\prime }(y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$，所以选项$A$正确。