直接计算 $A\alpha =(a,2a+3,3a+4{)}^T$。由于 $\alpha \ne 0$，线性相关等价于存在 $\lambda$ 使 $A\alpha =\lambda \alpha$。

比较第二、三分量得 $2a+3=\lambda =3a+4$，所以 $a=-1$。此时第一分量也满足 $-1=1\cdot (-1)$，条件确实成立。