2013 · 数学二 · 第 17 题 · 解答题

设平面内区域

D

由直线

x = 3 y, y = 3 x

及

x + y = 8

围成，计算

\iint_{D} x^{2} d x d y

。

答案

$\frac{416}{3}$

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三条直线的交点为 $O (0, 0)$ ， $A (2, 6)$ ， $B (6, 2)$ 。区域是三角形 $O A B$ ，下边界为 $y = \frac{x}{3}$ ；上边界在 $x = 2$ 处分段，前段为 $y = 3 x$ ，后段为 $y = 8 - x$ 。因此

I = \int_{0}^{2} d x \int_{\frac{x}{3}}^{3 x} x^{2} d y + \int_{2}^{6} d x \int_{\frac{x}{3}}^{8 - x} x^{2} d y .

内层积分只需乘以竖直截线的长度，分别得到

I_{1} I_{2} = \int_{0}^{2} x^{2} (3 x - \frac{x}{3}) d x = \frac{8}{3} [\frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{2} = \frac{32}{3}, = \int_{2}^{6} x^{2} (8 - x - \frac{x}{3}) d x = [\frac{8 x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{3}]_{2}^{6} = 144 - 16 = 128.

故 $I = \frac{32}{3} + 128 = \frac{416}{3}$ 。分界 $x = 2$ 来自顶点 $A$ ，不可把任一上边界直接用于整个 $[0, 6]$ 。

也可先对 $x$ 积分。由顶点 $(0, 0), (2, 6), (6, 2)$ ，按 $y = 2$ 分段，得

I = \int_{0}^{2} d y \int_{\frac{y}{3}}^{3 y} x^{2} d x + \int_{2}^{6} d y \int_{\frac{y}{3}}^{8 - y} x^{2} d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{2} (27 y^{3} - \frac{y ^{3}}{27}) d y + \frac{1}{3} \int_{2}^{6} ((8 - y)^{3} - \frac{y ^{3}}{27}) d y = \frac{2912}{81} + \frac{8320}{81} = \frac{416}{3} .