函数 $|\cos t|$ 的周期为 $\pi$，且每个长度为 $\pi$ 的周期上的积分为 $2$。因此 $S(n\pi )=2n$，$S((n+1)\pi )=2(n+1)$。

由于 $|\cos t|\ge 0$，$S$ 单调不减。对 $n\pi \le x<(n+1)\pi$，有 $S(x)\ge 2n$；又因尚未积分到下一周期终点，且余下区间上的积分为正，故 $S(x)<2(n+1)$。

写成 $x=n\pi +r$，其中 $0\le r<\pi$。由周期性及第一问的每周期积分值，$S(x)=2n+s$，其中 $0\le s<2$。

于是 $\frac{S(x)}{x}=\frac{2+\frac{s}{n}}{\pi +\frac{r}{n}}$。当 $x\to +\infty$ 时 $n\to \infty$，故极限为 $\frac{2}{\pi }$。