原方程要求 $x>0$。它是一阶线性方程，积分因子为 $\mu (x)={\mathrm{e}}^{\int (-x)\mathrm{d}x}={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$。两边同乘，得

积分得到 $y{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}=\sqrt{x}+C$，故 $y=(\sqrt{x}+C){\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}$。由 $y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$，有 $(1+C){\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}$，所以 $C=0$，即 $y=\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}$，$x>0$。求导得 $y^{\prime }=\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}}{(2\sqrt{x})}+xy$，核对了原方程，初值也满足。

在 $[1,2]$ 上，$y(x)=\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}>0$。区域绕 $x$ 轴旋转后，垂直于 $x$ 轴的截面是半径为 $y(x)$ 的圆盘，因此

令 $u=x^2$，则 $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$，积分限由 $1,2$ 变为 $1,4$，故