按 $x=0$ 分段。曲线先从 $(-1,0)$ 沿 $y=1+x$ 到 $(0,1)$，再沿 $y=1-x$ 到 $(1,0)$，两段均以递增的 $x$ 为参数。
第一段 $\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$，故

第二段 $\mathrm{d}y=-\mathrm{d}x$，故

因此所求为 $I_1+I_2=0$。

补线用格林公式。补上从 $(1,0)$ 沿 $x$ 轴返回 $(-1,0)$ 的线段 $L_0$。闭路 $L+L_0$ 为顺时针方向，围成关于 $y$ 轴对称的三角形 $D$。
令 $P=xy$、$Q=x^2$，则 $Q_x-P_y=2x-x=x$，且两函数在全平面光滑。按负向格林公式，

补线上 $y=0$、$\mathrm{d}y=0$，所以该线段积分为零。减去补线积分，原积分仍为 $0$。