2004 · 数学二 · 第 17 题 · 解答题

设

f (x) = \int_{x}^{x + \frac{π}{2}} ∣ sin t ∣ d t

。

答案

证明见解析

$f (x) \in [2 - 2, 2]$

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因为 $∣ sin (t + π)∣ = ∣ - sin t ∣ = ∣ sin t ∣$ ，所以作代换 $t = u + π$ 可得

f (x + π) = \int_{x + π}^{x + \frac{3 π}{2}} ∣ sin t ∣ d t = \int_{x}^{x + \frac{π}{2}} ∣ sin (u + π)∣ d u = \int_{x}^{x + \frac{π}{2}} ∣ sin u ∣ d u = f (x)

。

因此 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期，故 $f (x)$ 是以 $π$ 为周期的周期函数。

由第一问，只需考察 $x \in [0, π]$ 。当 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ 时，积分区间位于 $[0, π]$ 内，故 $f (x) = \int_{x}^{x + \frac{π}{2}} sin t d t = sin x + cos x$ 。

当 $\frac{π}{2} \leq x \leq π$ 时，积分区间跨过 $π$ ，故

f (x) = \int_{x}^{π} sin t d t + \int_{π}^{x + \frac{π}{2}} (- sin t) d t = 2 + cos x - sin x .

在第一段， $sin x + cos x$ 的最小值为 $1$ ，最大值为 $2$ ；在第二段， $2 + cos x - sin x$ 的最大值为 $1$ ，最小值在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处取得，为 $2 - 2$ 。所以值域为 $[2 - 2, 2]$ 。