由 $g$ 有界，$x^{2}g(x)\to 0$；又 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，故右侧函数值也趋于零，而 $f(0)=0$，所以 $f$ 在零点连续。

右导数为 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^{\frac{3}{2}}}=0$；左导数为 $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }xg(x)=0$。两侧导数相等，故 $f$ 在 $0$ 处可导，选 D。