1999 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

已知随机变量

X_{1}

和

X_{2}

的概率分布如下表，且

P {X_{1} X_{2} = 0} = 1

。完成下列各问：

答案

非零的联合概率为 $P {X_{1} = - 1, X_{2} = 0} = \frac{1}{4}, P {X_{1} = 0, X_{2} = 1} = \frac{1}{2}, P {X_{1} = 1, X_{2} = 0} = \frac{1}{4}$ ，其余组合的概率均为 $0$ 。

不独立。

由 $P {X_{1} X_{2} = 0} = 1$ ，当 $X_{2} = 1$ 时必有 $X_{1} = 0$ 。又 $P {X_{2} = 1} = \frac{1}{2}$ ，故 $P {X_{1} = 0, X_{2} = 1} = \frac{1}{2}$ 。

因为 $P {X_{1} = 0} = \frac{1}{2}$ ，所以 $P {X_{1} = 0, X_{2} = 0} = 0$ 。其余边缘概率只能落在 $X_{2} = 0$ 上，于是

P {- 1, 0} = \frac{1}{4}, P {1, 0} = \frac{1}{4} .

因而联合分布为

X_{1} \ X_{2} - 1 01 0 \frac{1}{4} 0 \frac{1}{4} 10 \frac{1}{2} 0 .

由第一问的联合分布，例如

P {X_{1} = - 1, X_{2} = 1} = 0,

但

P {X_{1} = - 1} P {X_{2} = 1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} .

两者不相等，所以 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 不独立。