2026 · 数学二 · 第 6 题 · 选择题

（1）令 $H (u) = \int_{1}^{u} \frac{e ^{t}}{1 + t ^{2}} d t$ ，被积函数恒正，所以 $H$ 严格递增； $x^{3}$ 也严格递增，故 $f (x) = H (x^{3})$ 严格递增，反函数 $g$ 存在。
（2）当 $x = 1$ 时积分上下限相同，故 $f (1) = 0$ 。由反函数对应关系，得到 $g (0) = 1$ 。
（3）应用变限积分求导与链式法则，

f^{'} (x) = \frac{e ^{x^{3}}}{1 + ( x ^{3} ) ^{2}} \cdot 3 x^{2} = \frac{3 x ^{2} e ^{x^{3}}}{1 + x ^{6}},

所以 $f^{'} (1) = \frac{3 e}{2} \neq = 0$ 。由反函数求导公式， $g^{'} (0) = \frac{1}{f ^{'} ( 1 )} = \frac{2}{( 3 e )}$ ，选B。
（4）A的导数值 $\frac{3 e}{2}$ 是 $f^{'} (1)$ 而非其倒数。C、D均含 $g (1) = 0$ ，该等式等价于 $f (0) = 1$ ；但

f (0) = \int_{1}^{0} \frac{e ^{t}}{1 + t ^{2}} d t = - \int_{0}^{1} \frac{e ^{t}}{1 + t ^{2}} d t < 0,

不可能等于 $1$ ，故C、D均被排除。

答案