由于样本独立且服从相同正态分布，$Y=X_1-X_2\sim N(0,2{\sigma }^2)$。令 $Z=\frac{Y}{(\sqrt{2}\sigma )}$，则 $Z\sim N(0,1)$。利用偶函数积分并令 $u=\frac{z^2}{2}$，得

所以 $E|X_1-X_2|=\sqrt{2}\sigma E|Z|=\frac{2\sigma }{\sqrt{\pi }}$。无偏性要求 $E(\hat{\sigma })=\frac{2a\sigma }{\sqrt{\pi }}=\sigma$ 对所有 $\sigma >0$ 成立，得 $a=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$，选 A。