2019 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

（1）分段表示面积。 $e^{- x} > 0$ ，曲线的零点为 $x = k π$ （ $k = 0, 1, 2, \dots$ ）。在相邻零点之间正弦不变号，记第 $k$ 段面积为 $A_{k} = \int_{k π}^{(k + 1) π} e^{- x} ∣ sin x ∣ d x$ 。令 $x = k π + t$ ，则 $0 \leq t \leq π$ ， $d x = d t$ ，且 $∣ sin (k π + t) ∣ = sin t$ ，所以

A_{k} = e^{- k π} \int_{0}^{π} e^{- t} sin t d t = e^{- k π} A_{0} .

（2）计算首段面积。连续两次分部积分，得

\int e^{- t} sin t d t = - e^{- t} sin t + \int e^{- t} cos t d t = - e^{- t} (sin t + cos t) - \int e^{- t} sin t d t .

移项可得原函数 $- \frac{1}{2} e^{- t} (sin t + cos t)$ ，故

A_{0} = [- \frac{1}{2} e^{- t} (sin t + cos t)]_{0}^{π} = \frac{1 + e ^{- π}}{2} .

（3）求总面积。各段面积非负，且公比 $e^{- π} \in (0, 1)$ ，因此总面积为收敛等比级数之和：

A = k = 0 \sum \infty A_{k} = \frac{A _{0}}{1 - e ^{- π}} = \frac{1 + e ^{- π}}{2 ( 1 - e ^{- π} )} = \frac{e ^{π} + 1}{2 ( e ^{π} - 1 )} .

面积积分必须取绝对值，不能将相邻正负部分相消；也不能只计算第一段而遗漏其后的各段。

答案