$\frac{2}{n(n-1)}$

正态样本满足 $\overline{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$，且 $E(S^2)={\sigma }^2$。因此 $E({\overline{X}}^2)={\mu }^2+\frac{{\sigma }^2}{n}$。

于是

故 $T$ 是 ${\mu }^2$ 的无偏估计量。

当 $\mu =0,\sigma =1$ 时，$\overline{X}$ 与 $S^2$ 独立，且 $\overline{X}\sim N(0,\frac{1}{n})$。所以 $D({\overline{X}}^2)=\frac{2}{n^2}$。

又 $(n-1)S^2\sim {\chi }_{n-1}^2$，故 $D(S^2)=\frac{2}{(n-1)}$。

由独立性，