（1）求旋转曲面。母线为 $z$ 轴，方向为 $\mathbf{k}=(0,0,1)$；旋转轴的单位方向为 $\mathbf{e}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$。两线交于原点，生成圆锥面，半顶角满足 $\cos \theta =|\mathbf{k}\cdot \mathbf{e}|=\frac{1}{\sqrt{3}}$。锥面上的点满足

即 $xy+yz+zx=0$。
（2）确定圆锥尺寸并补面。记 $s=x+y+z$，题给曲面是 $0\le s\le 1$ 的圆锥侧面。平面 $s=0$ 只在顶点与这一叶相交；平面 $s=1$ 垂直于轴线，锥高 $h=\frac{1}{\sqrt{3}}$。底圆上的点到原点的距离为 $1$，故底圆半径满足 $a^2=1-h^2=\frac{2}{3}$。
补上 $s=1$ 的底圆盘 ${\Sigma }_2$，取外法向量 ${\mathbf{n}}_2=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$。圆锥体 $\Omega$ 的体积为

（3）高斯公式与补面通量。向量场 $\mathbf{F}=(x,y+1,z+2)$ 光滑，散度为 $3$，闭合后的两片均取外侧，所以 $I+I_2=3V=\frac{2\pi }{(3\sqrt{3})}$。在底面上，

故 $I_2=(\frac{4}{\sqrt{3}})\pi a^2=\frac{8\pi }{(3\sqrt{3})}$。相减得