1987 · 数学一 · 第 9 题 · 解答题

求微分方程

y^{'''} + 6 y^{''} + (9 + a^{2}) y^{'} = 1

的通解（一般解），其中常数

a > 0

。

答案

$y = C_{1} + e^{- 3 x} (C_{2} cos a x + C_{3} sin a x) + \frac{x}{9 + a ^{2}}$

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对应齐次方程的特征多项式为

r^{3} + 6 r^{2} + (9 + a^{2}) r = r ((r + 3)^{2} + a^{2}) .

因 $a > 0$ ，三个特征根为 $0$ 、 $- 3 \pm ai$ 。

齐次通解为 $C_{1} + e^{- 3 x} (C_{2} cos a x + C_{3} sin a x)$ 。对右端常数 1，取特解 $y_{p} = c x$ ，代入得 $(9 + a^{2}) c = 1$ ，即 $c = \frac{1}{( 9 + a ^{2} )}$ 。

因此通解为

y = C_{1} + e^{- 3 x} (C_{2} cos a x + C_{3} sin a x) + \frac{x}{9 + a ^{2}} .