（1）分子凑成分母的导数。记所求积分为 $I$，由 $2x-4=(2x+2)-6$，得

$$I={\int }_0^2\frac{2x+2}{x^2+2x+4}\mathrm{d}x-6{\int }_0^2\frac{\mathrm{d}x}{x^2+2x+4}.$$

第一项为 $[\ln (x^2+2x+4){]}_0^2=\ln 12-\ln 4=\ln 3$。
（2）对第二项配方：$x^2+2x+4=(x+1{)}^2+3$。令 $u=\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}$，上下限分别为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$、$\sqrt{3}$，于是

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^2\frac{\mathrm{d}x}{(x+1{)}^2+3}& =\frac{1}{\sqrt{3}}{\left[\arctan u\right]}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}.\end{array}$$

（3）合并得 $I=\ln 3-6\cdot \frac{\pi }{(6\sqrt{3})}=\ln 3-\frac{\sqrt{3}\pi }{3}$。