真题库

已知$a_n<b_n(n=1,2,\dots )$，若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$与$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$均收敛，则“$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$绝对收敛”是“$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$绝对收敛”的（　　）。

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有二阶连续导数。

设随机变量$X,Y$相互独立，且$X\sim B(1,p),Y\sim B(2,p),p\in (0,1)$，则$X+Y$与$X-Y$的相关系数为 。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_3$与$g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+y_3^2+2y_2{y}_3$。

求函数$f(x,y)=(y-x^2)(y-x^3)$的极值。

函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},& x\le 0\\ x\cos x+\cos x,& x>0\end{array}$的一个原函数为（　　）。

设$X_1,X_2$为来自总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单随机样本，其中$\sigma >0$未知。若$\hat{\sigma }=a|X_1-X_2|$为$\sigma$的无偏估计，则$a=$（　　）。

${\int }_0^2\frac{2x-4}{x^2+2x+4}\mathrm{d}x=$ 。

已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f({\mathrm{e}}^{x^2})-3f(1+{\sin }^{2}x)}{x^2}=2$，求$f^{\prime }(1)$。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid y-2\le x\le \sqrt{4-y^2},0\le y\le 2\}$，计算$I={\iint }_D\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

${\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$ 。

已知$f(t)$连续，令$F(x,y)={\int }_0^{x-y}(x-y-t)f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

设函数$f(x)$在$x=x_0$处有二阶导数，则（　　）。

设函数$y(x)$是微分方程$2x{y}^{\prime }-4y=2\ln x-1$满足条件$y(1)=\frac{1}{4}$的解，求曲线$y=y(x)$在$[1,\mathrm{e}]$上的弧长。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有二阶连续导数。证明：$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$的充分必要条件是对任意不同的实数$a,b$，都有$f(\frac{a+b}{2})\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$成立。

设$A,B,C$为随机事件，且$A$与$B$互不相容，$A$与$C$互不相容，$B$与$C$相互独立，$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$，则$P(B\cup C\mid A\cup B\cup C)=$ 。

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}{\mathrm{e}}^{-nx}$的收敛域为$(a,+\infty )$，则$a=$ 。

设$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{\ln x}=1$，则（　　）。

求幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-4{)}^n+1}{4^n(2n+1)}{x}^{2n}$的收敛域及和函数$S(x)$。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& a^2\\ 1& b& b^2\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$，则线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$解的情况为（　　）。