真题库

已知$M(x_0,y_0)$是曲线$y=\frac{1}{1+x^2}(x\ge 0)$的拐点。$O$为原点，$D$是第一象限中以该曲线在$x\ge x_0$的部分、线段$OM$及$x$轴正半轴为边界的无界区域。求$D$绕$x$轴旋转所得旋转体的体积。

参数方程$x=2{\sin }^{2}t,y=t+\cos t,t\in (0,\frac{\pi }{2})$确定$y=y(x)$，则$(\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{)}_{t=\frac{\pi }{4}}=$ 。

设可导函数$f(x)$严格单调递增，且${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，记$a={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。

设函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上有定义，则（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x\sin x})=$ 。

曲线$x^2+2\sqrt{3}xy+y^2=1$在$(0,1)$处的曲率半径$R=$ 。

已知曲线$y=x{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$，则该曲线（　　）。

已知$f(x)={\int }_1^{x^3}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}}{1+t^2}\mathrm{d}t$，$g$是$f$的反函数，则（　　）。

曲线$y=\sqrt[3]{x^3-3x^2+1}$的渐近线方程为 。

设$g(x)$是$f(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{3+x}{3-x}$的反函数，则曲线$y=g(x)$的渐近线方程为 。

函数$y=y(x)$由$x=\ln (1+2t)$及$2t-{\int }_1^{y+t^2}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=0$确定，则$(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}{)}_{t=0}=$ 。

设函数$f(x)$连续。给出：① $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|f(x)|-f(0)}{x}$存在；② $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-|f(0)|}{x}$存在；③ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|f(x)|}{x}$存在；④ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$存在。能推出$f(x)$在$x=0$处可导的条件个数为（　　）。

设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导。证明：$f^{\prime }(x)$在该区间内严格单调增加的充分必要条件是，对任意$x_1<x_2<x_3$，有$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$。

设$f(x)$在$x=0$处连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)-{\mathrm{e}}^{2\sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$。证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f^{\prime }(0)$。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\sin t\mathrm{d}t,g(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t\cdot {\sin }^{2}x$，则（　　）。

曲线$y^2=x$在点$(0,0)$处的曲率圆方程为 。

设函数$f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1),|f^{\prime \prime }(x)|\le 1$。

已知函数$f(x)=x^2(e^x+1)$，则$f^{(5)}(1)=$ 。

已知$\{\begin{array}{l}x=1+t^3\\ y={\mathrm{e}}^{t^2}\end{array}$确定函数$y=f(x)$，则$\underset{x\to +\infty }{\lim }x[f(2+\frac{2}{x})-f(2)]=$（　　）。

设$t>0$，曲线$y=\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}$与直线$x=t,x=2t$及$x$轴所围图形绕$x$轴旋转所得旋转体体积为$V(t)$，求$V(t)$的最大值。