真题库

设薄片型物体$S$是圆锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$被柱面$z^2=2x$割下的有限部分，其上任一点的密度为$\mu =9\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，记圆锥面与柱面的交线为$C$。

直线$L$过$A(1,0,0),B(0,1,1)$，绕$z$轴旋转得曲面$\Sigma$，与$z=0,z=2$围成立体$\Omega$。

椭球面$S_1$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$绕$x$轴旋转而成，圆锥面$S_2$是由过点$(4,0)$且与该椭圆相切的直线绕$x$轴旋转而成。

点$(2,1,0)$到平面$3x+4y+5z=0$的距离$d=$ 。

设矩阵$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right)$是满秩的，则直线$\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}$与直线$\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}=\frac{z-c_1}{c_2-c_3}$（　　）。

设直线$L:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$，平面$\Pi :x-y+2z-1=0$。完成下列各问：

设直线$L:\{\begin{array}{l}x+y+b=0\\ x+ay-z-3=0\end{array}$在平面$\Pi$上，且平面$\Pi$与曲面$z=x^2+y^2$相切于点$(1,-2,5)$，求$a,b$之值。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+c{x}_3^2-2x_1{x}_2+6x_1{x}_3-6x_2{x}_3$的秩为$2$。完成下列各问：

设一平面经过原点及点$(6,-3,2)$，且与平面$4x-y+2z=8$垂直，则此平面方程为 。

设$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=2$，则$[(\vec{a}+\vec{b})\times (\vec{b}+\vec{c})]\cdot (\vec{c}+\vec{a})=$ 。

设有直线$L:\{\begin{array}{l}x+3y+2z+1=0\\ 2x-y-10z+3=0\end{array}$及平面$\Pi :4x-2y+z-3=0$，则直线$L$（　　）。

已知点$A$与$B$的直角坐标分别为$(1,0,0)$与$(0,1,1)$。线段$AB$绕$z$轴旋转一周所围成的旋转曲面为$S$。求由$S$及两平面$z=0$、$z=1$所围成的立体体积。

设有直线$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1}$与$L_2:\{\begin{array}{l}x-y=6\\ 2y+z=3\end{array}$，则$L_1$与$L_2$的夹角为（　　）。

由曲线$\{\begin{array}{l}3x^2+2y^2=12\\ z=0\end{array}$绕$y$轴旋转一周得到的旋转面在点$(0,\sqrt{3},\sqrt{2})$处的指向外侧的单位法向量为 。

在曲线$x=t,y=-t^2,z=t^3$的所有切线中，与平面$x+2y+z=4$平行的切线（　　）。

已知两条直线的方程是$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}$；$L_2:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$，则过$L_1$且平行于$L_2$的平面方程是 。

求${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z)\mathrm{d}V$，其中$\Omega$是由曲线$\{\begin{array}{l}{y}^2=2z\\ x=0\end{array}$绕$z$轴旋转一周而成的曲面与平面$z=4$所围成的立体。

过点$M(1,2,-1)$且与直线$\{\begin{array}{l}x=-t+2\\ y=3t-4\\ z=t-1\end{array}$垂直的平面方程是 。

求椭球面$x^2+2y^2+3z^2=21$上某点$M$处的切平面$\Pi$的方程，使平面$\Pi$过已知直线$l:\frac{x-6}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{2z-1}{-2}$。

与两直线$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1+t\\ z=2+t\end{array}$及$\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$都平行，且过原点的平面方程为 。