绕 $y$ 轴旋转后，旋转面的方程为 $3(x^2+z^2)+2y^2=12$。令 $G(x,y,z)=3x^2+2y^2+3z^2-12$，则外法向方向为 $\nabla G=(6x,4y,6z)$。

在 $(0,\sqrt{3},\sqrt{2})$ 处，$\nabla G=(0,4\sqrt{3},6\sqrt{2})$，其长度为 $2\sqrt{30}$。故指向外侧的单位法向量为 $(0,\frac{\sqrt{10}}{5},\frac{\sqrt{15}}{5})$。