直线方向向量为 $B-A=(-1,1,1)$，故参数方程可取 $x=1-t$、$y=t$、$z=t$，$t\in \mathbb{R}$。绕 $z$ 轴旋转时，高度 $z$ 与到轴的距离保持不变。
固定高度 $z$，母线对应参数 $t=z$，到轴距离的平方为 $(1-z{)}^2+z^2$。因此旋转曲面为

右端为 $2(z-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{2}>0$，各高度都对应一个圆；该曲面为单叶双曲面。

立体为 $0\le z\le 2$、$x^2+y^2\le 2z^2-2z+1$，关于两个竖直坐标平面都对称，故 $\bar{x}=\bar{y}=0$。固定 $z$，截面为圆盘，面积 $A(z)=\pi (2z^2-2z+1)$。
体积和对 $xy$ 平面的静矩分别为

故 $\bar{z}=\frac{M_{xy}}{V}=\frac{7}{5}$，形心为 $(0,0,\frac{7}{5})$。