真题库

已知$f(x,y)$可微，且$\mathrm{d}f(0,0)=\pi \mathrm{d}x+3\mathrm{d}y$。记$g(x)=f(\ln x,\sin \pi x)$，则$g^{\prime }(1)=$ 。

求函数$f(x,y)=(2x^2-y^2){\mathrm{e}}^x$的极值。

设函数$z=z(x,y)$由方程$x-az={\mathrm{e}}^{y+az}$确定，其中$a$为非零常数，则（　　）。

设函数$z=z(x,y)$由$z+\ln z-{\int }_y^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=0$确定，则$z_x+z_y=$（　　）。

函数$z=z(x,y)$由$z+\ln z-{\int }_y^{x}x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=1$确定，则$z_{xx}{|}_{(1,1)}=$ 。

已知$u(x,y,z)=x{y}^2{z}^3,\mathbf{n}=(2,2,-1)$，则$(\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}{)}_{(1,1,1)}=$ 。

已知函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，记$g(x,y)=f(\frac{x}{y})$。若$x^2{g}_{xx}+xy{g}_{xy}+y^2{g}_{yy}=1,g(x,x)=1,g_x{|}_{(x,x)}=\frac{2}{x}$，求$f(u)$。

设函数$f(x,y)$可微，且$\mathrm{d}f=-2x{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^{-y}(x^2-y-1)\mathrm{d}y,f(0,0)=2$。求$f(x,y)$，并求其极值。

设函数$z=z(x,y)$由方程$z+{\mathrm{e}}^x-y\ln (1+z^2)=0$确定，求$(z_{xx}+z_{yy}){|}_{(0,0)}$。

函数$f(x,y)=2x^3-9x^2-6y^4+12x+24y$的极值点为 。

已知函数$f(x,y)=x^3+y^3-(x+y{)}^2+3$。设$T$是曲面$z=f(x,y)$在点$(1,1,1)$处的切平面，$D$为$T$与坐标平面所围成的有界区域在$xOy$平面上的投影。

已知函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy},& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$，则在点$(0,0)$处（　　）。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导，$g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$，且$g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}=1$。

设函数$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$\mathrm{d}f{|}_{(1,1)}=3\mathrm{d}u+4\mathrm{d}v$。令$y=f(\cos x,1+x^2)$，则$y^{\prime \prime }(0)=$ 。

曲面$z=x+2y+\ln (1+x^2+y^2)$在点$(0,0,0)$处的切平面方程为 。

设函数$z=z(x,y)$由${\mathrm{e}}^z+xz=2x-y$确定，则$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}{|}_{(1,1)}=$ 。

求函数$f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{\cos y}+\frac{x^2}{2}$的极值。

已知函数$f(x,y)=\ln (y+|x\sin y|)$，则（　　）。

求函数$f(x,y)=(y-x^2)(y-x^3)$的极值。

已知$f(t)$连续，令$F(x,y)={\int }_0^{x-y}(x-y-t)f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。