求一阶偏导得 $f_x={\mathrm{e}}^{\cos y}+x$、$f_y=-x\sin y{\mathrm{e}}^{\cos y}$。由 $f_x=0$ 得 $x=-{\mathrm{e}}^{\cos y}<0$，所以 $f_y=0$ 等价于 $\sin y=0$。驻点分为两族：$(-\mathrm{e},2k\pi )$ 与 $(-{\mathrm{e}}^{-1},(2k+1)\pi )$，$k\in \mathbb{Z}$。
二阶偏导为

第一族中 $A=1$、$B=0$、$C={\mathrm{e}}^2$，判别式为 ${\mathrm{e}}^2>0$ 且 $A>0$，故均为极小值点，极小值为 $-{\mathrm{e}}^2+\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}=-\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}$。
第二族中 $A=1$、$B=0$、$C=-{\mathrm{e}}^{-2}$，判别式为负，均为鞍点。函数处处光滑，驻点已穷尽，故无极大值。答案必须包含所有整数 $k$，不能只列周期内一个点。

对 $x$ 配方，得到

因为 $\cos y\le 1$，所以 $f\ge -\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}$，且等号恰在 $x=-\mathrm{e}$、$y=2k\pi$ 时成立。这些点都是极小值点。
若是局部极小值点，固定 $y$ 比较 $x$ 必须有 $x=-{\mathrm{e}}^{\cos y}$；沿这条曲线，函数值为 $\phi (y)=-\frac{{\mathrm{e}}^{2\cos y}}{2}$。${\phi }^{\prime }(y)={\mathrm{e}}^{2\cos y}\sin y$，其局部极小点为 $2k\pi$，奇数倍 $\pi$ 处则为极大点。因此没有其他局部极小值点；在奇数倍 $\pi$ 对应的驻点，沿固定 $y$ 的 $x$ 方向函数增大，沿上述曲线函数减小，是鞍点。
对任意固定的 $y$，$f$ 关于 $x$ 是严格凸二次函数，不可能沿 $x$ 方向取得局部极大值，所以二元函数也无局部极大值。