比较全微分系数，得 $f_x=-2x{\mathrm{e}}^{-y}$、$f_y={\mathrm{e}}^{-y}(x^2-y-1)$。两者的混合求导均为 $2x{\mathrm{e}}^{-y}$，与存在原函数相容。
固定 $y$ 对 $x$ 积分，得 $f=-x^2{\mathrm{e}}^{-y}+\phi (y)$。再对 $y$ 求导并与已知 $f_y$ 比较：$x^2{\mathrm{e}}^{-y}+{\phi }^{\prime }(y)={\mathrm{e}}^{-y}(x^2-y-1)$，从而 ${\phi }^{\prime }(y)=-(y+1){\mathrm{e}}^{-y}$。由分部积分，

因此 $f=(y+2-x^2){\mathrm{e}}^{-y}+C$。由 $f(0,0)=2$ 得 $C=0$，故 $f(x,y)=(y+2-x^2){\mathrm{e}}^{-y}$，其两个偏导与初值均符合题设。
指数因子恒正，由 $f_x=f_y=0$ 得 $x=0$、$y=x^2-1=-1$，唯一驻点为 $(0,-1)$。二阶偏导为 $f_{xx}=-2{\mathrm{e}}^{-y}$、$f_{xy}=2x{\mathrm{e}}^{-y}$、$f_{yy}=(y-x^2){\mathrm{e}}^{-y}$。在驻点处 $A=-2\mathrm{e}$、$B=0$、$C=-\mathrm{e}$，故 $AC-B^2=2{\mathrm{e}}^2>0$ 且 $A<0$，为极大值点，极大值 $f(0,-1)=\mathrm{e}$。所求函数光滑且驻点唯一，故无极小值。