2026 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

由乘积法则， $f_{x} = (2 x^{2} + 4 x - y^{2}) e^{x}$ 、 $f_{y} = - 2 y e^{x}$ 。指数因子恒正，故驻点满足 $y = 0$ 、 $2 x^{2} + 4 x = 2 x (x + 2) = 0$ ，即 $(0, 0)$ 、 $(- 2, 0)$ 。
二阶偏导为

f_{xx} f_{x y} f_{y y} = (2 x^{2} + 8 x + 4 - y^{2}) e^{x}, = - 2 y e^{x}, = - 2 e^{x} .

在 $(0, 0)$ 处， $A = 4$ 、 $B = 0$ 、 $C = - 2$ ，判别式为 $- 8 < 0$ ，是鞍点；也可由 $f (x, 0) = 2 x^{2} e^{x} > 0$ 、 $f (0, y) = - y^{2} < 0$ （坐标非零时）直接看出。
在 $(- 2, 0)$ 处， $A = - 4 e^{- 2}$ 、 $B = 0$ 、 $C = - 2 e^{- 2}$ ，故 $A C - B^{2} = 8 e^{- 4} > 0$ 且 $A < 0$ ，为极大值点，极大值为 $f (- 2, 0) = 8 e^{- 2}$ 。
函数在全平面光滑，驻点已穷尽，故无极小值。求 $x$ 偏导时指数因子也依赖 $x$ ，不能遗漏乘积法则中的对应项。

答案