令 $f(x,y)=x+2y+\ln (1+x^2+y^2)$，则 $f(0,0)=0$。求偏导得

偏导连续，故 $f$ 可微。在原点有 $f_x=1$、$f_y=2$，所以切平面为 $z-0=1(x-0)+2(y-0)$，即 $x+2y-z=0$。

令 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$。当 $(x,y)\to (0,0)$ 时，$\ln (1+{\rho }^2)={\rho }^2+o({\rho }^2)=o(\rho )$，因此

这正是原点处的可微展开，线性部分为 $x+2y$，故切平面为 $z=x+2y$，即 $x+2y-z=0$。