真题库

设$p$为常数，若${\int }_0^{+\infty }\frac{\arctan x}{x^p(1+x)}\mathrm{d}x$收敛，则$p$的取值范围为 。

函数$f(x)=\ln (2+x)$在$[0,2]$上的平均值为 。

已知$g(x)$连续，设$f(x)={\int }_0^{x^2}g(xt)\mathrm{d}t$。求$f^{\prime }(x)$，并判断$f^{\prime }(x)$在$x=0$处的连续性。

已知$M(x_0,y_0)$是曲线$y=\frac{1}{1+x^2}(x\ge 0)$的拐点。$O$为原点，$D$是第一象限中以该曲线在$x\ge x_0$的部分、线段$OM$及$x$轴正半轴为边界的无界区域。求$D$绕$x$轴旋转所得旋转体的体积。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln (1+x)}{x^2}\mathrm{d}x=$ 。

设可导函数$f(x)$严格单调递增，且${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，记$a={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。

$t$时刻某证券交易单价为$p(t)$，某机构持有份额为$q(t)$。若该机构在$t\in [0,T]$内持续购入，则平均购入价格为（　　）。

线密度为 1 的细直棒端点为$(-1,0)$、$(1,0)$，质量为$m$的质点位于$(0,1)$，$G$为引力常量，则细棒对质点的引力大小为（　　）。

${\int }_0^{1}x(x-1)(x-\frac{1}{2})\mathrm{d}x=$ 。

单位质点$P$、$Q$分别位于$(0,0),(0,1)$，$P$沿$x$轴正向移动。记$G$为引力常量，则$P$移动到$(l,0)$时克服$Q$的引力所做的功为（　　）。

若微分方程$y^{\prime \prime }-2a{y}^{\prime }+(a+2)y=0$的任一解$y(x)$都使反常积分${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$收敛，则$a$的取值范围为（　　）。

设${\int }_1^{+\infty }\frac{a}{x(2x+a)}\mathrm{d}x=\ln 2$，则$a=$ 。

设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty )$上可导，则（　　）。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}[\ln \frac{1}{n}+2\ln \frac{2}{n}+\cdots +(n-1)\ln \frac{n-1}{n}]=$ 。

计算${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}\mathrm{d}x$。

设$I={\int }_a^{a+k\pi }|\sin x|\mathrm{d}x$，其中$k$为整数，则$I$的值（　　）。

${\int }_2^{+\infty }\frac{5}{x^4+3x^2-4}\mathrm{d}x=$ 。

某物体以速度$v(t)=t+k\sin \pi t$做直线运动。若它从$t=0$到$t=3$的平均速度为$\frac{5}{2}$，则$k=$ 。

设函数$f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1),|f^{\prime \prime }(x)|\le 1$。

设$t>0$，曲线$y=\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}$与直线$x=t,x=2t$及$x$轴所围图形绕$x$轴旋转所得旋转体体积为$V(t)$，求$V(t)$的最大值。