先确定允许的参数范围。若 $a\le -2$，则 $x_0=-\frac{a}{2}\ge 1$ 是积分区间的端点或内点，且 $a\ne 0$，被积函数在此有不可积的一阶极点，原反常积分发散。因此必有 $a>-2$。
在此范围内 $2x+a>0$，部分分式分解为 $\frac{a}{[x(2x+a)]}=\frac{1}{x}-\frac{2}{(2x+a)}$。对 $b>1$，先合并对数再取极限：

由题设，$\ln (\frac{(2+a)}{2})=\ln 2$，得 $a=2$，符合 $a>-2$。回代时积分为 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x(x+1)}=\ln 2$，故答案为 $2$。