真题库

已知$g(x)$连续，设$f(x)={\int }_0^{x^2}g(xt)\mathrm{d}t$。求$f^{\prime }(x)$，并判断$f^{\prime }(x)$在$x=0$处的连续性。

已知当$x\to 0$时，$a{x}^2+bx+\arcsin x$与$\sqrt[3]{1+x^2}-1$等价，则（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x})=$ 。

设$f(x),g(x)$在$x=0$的某去心邻域内有定义且恒不为 0。若$x\to 0$时$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小，则（　　）。

当$x\to 0^{+}$时，下列无穷小量中与$x$等价的是（　　）。

设$g(x)$是$f(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{3+x}{3-x}$的反函数，则曲线$y=g(x)$的渐近线方程为 。

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^x-1}{\ln x\cdot \ln (1-x)}=$ 。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{\cos t}\mathrm{d}t,g(x)={\int }_0^{\sin x}{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t$，则（　　）。

当$x\to 0$时，${\int }_0^x\frac{(1+t^2)\sin t^2}{1+{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t$与$x^k$同阶，则$k=$ 。

已知函数$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+x}{1+n{x}^{2n}}$，则$f(x)$在$x=-1,x=1$处的连续性为（　　）。

已知数列$\{a_n\}(a_n\ne 0)$发散，则（　　）。

函数$f(x)=|x{|}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$的第一类间断点个数为（　　）。

已知$f(x)={\int }_0^{\sin x}\sin t^3\mathrm{d}t,g(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

当$x\to 0$时，函数$f(x)=ax+b{x}^2+\ln (1+x)$与$g(x)={\mathrm{e}}^{x^2}-\cos x$是等价无穷小，则$ab=$ 。

已知数列$\{x_n\},\{y_n\}$满足$x_1=y_1=\frac{1}{2},x_{n+1}=\sin x_n,y_{n+1}=y_n^2(n=1,2,\dots )$，则当$n\to \infty$时（　　）。

设$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{\ln x}=1$，则（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{2}{)}^{\cot x}=$ 。

已知$a_n=\sqrt[n]{n}-\frac{(-1{)}^n}{n}(n=1,2,\dots )$，则数列$\{a_n\}$（　　）。

当$x\to 0$时，$\alpha (x),\beta (x)$是非零无穷小量。给出命题：① $\alpha \sim \beta \Rightarrow {\alpha }^2\sim {\beta }^2$；② ${\alpha }^2\sim {\beta }^2\Rightarrow \alpha \sim \beta$；③ $\alpha \sim \beta \Rightarrow \alpha -\beta =o(\alpha )$；④ $\alpha -\beta =o(\alpha )\Rightarrow \alpha \sim \beta$。真命题的序号为（　　）。

设数列$\{x_n\}$满足$-\frac{\pi }{2}\le x_n\le \frac{\pi }{2}$，则（　　）。