与 $x$ 等价的判据是除以 $x$ 后趋于 $1$，逐项判断。
（1）A：$e^{-\sin x}-1\sim -\sin x\sim -x$，比值趋于 $-1$，符号相反，只是同阶而不等价。
（2）B：$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o(x)$，$\cos x=1+o(x)$，故 $\sqrt{1+x}-\cos x=\frac{x}{2}+o(x)$，比值趋于 $\frac{1}{2}$，不等价。
（3）C：当 $x\to 0^{+}$ 时，$u=\sqrt{2x}\to 0^{+}$，由 $1-\cos u\sim \frac{u^2}{2}$，得 $1-\cos \sqrt{2x}\sim \frac{(2x)}{2}=x$，比值恰趋于 $1$。
（4）D：由 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，有 $1-\frac{\ln (1+x)}{x}=\frac{x}{2}+o(x)$，比值趋于 $\frac{1}{2}$，不等价。
所以只有 C 正确。同阶只要求比值为有限非零常数，等价还要求该常数是 $1$。