记$F(x)={\int }_0^x[(1+t^2)\frac{\sin (t^2)}{(1+{\cos }^{2}t)}]\mathrm{d}t$。当$t\to 0$时，$1+t^2\to 1$，$\sin (t^2)\sim t^2$，$1+{\cos }^{2}t\to 2$，所以被积函数为$\frac{t^2}{2}+o(t^2)$。积分得

该展开对$x\to 0$的两侧都成立；余项在$0$与$x$之间积分后为$o(x^3)$。故$\frac{F(x)}{x^3}\to \frac{1}{6}$，是非零有限数，因而$k=3$。如果$k\ne 3$，仅考察$x\to 0^{+}$，比值就等价于$\frac{x^{3-k}}{6}$，不可能趋于非零有限数。

由被积函数约为$\frac{t^2}{2}$，预计积分为三阶。用洛必达法则直接确认：

这是$\frac{0}{0}$型，且分母导数在去心邻域非零，导数比的极限存在。故$F$与$x^3$同阶，$k=3$。