（1）由 $\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}$，先合并为

$$\frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=\frac{\sqrt{1+x^2}-\cos x}{x\sin x}.$$

分母 $x\sin x=x^2+o(x^2)$，所以分子展开到二阶即可。
（2）$\sqrt{1+x^2}=1+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。相减得 $\sqrt{1+x^2}-\cos x=x^2+o(x^2)$，故原极限为 $1$。两个二次系数在相减后相加，不能抵消。

合并分母后，在分子中加减 $1$，得到

$$\frac{\sqrt{1+x^2}-\cos x}{x\sin x}=\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x\sin x}+\frac{1-\cos x}{x\sin x}.$$

第一项有理化后为 $\frac{x}{[(\sqrt{1+x^2}+1)\sin x]}\to \frac{1}{2}$；第二项由 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$ 及 $x\sin x\sim x^2$ 也趋于 $\frac{1}{2}$。两项极限分别存在，故总极限为 $1$。