原函数要求 $\frac{3+x}{3-x}>0$，故定义域为 $(-3,3)$。在此区间内，

所以 $f$ 连续且严格递增。又 $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$，$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=+\infty$，由连续性可知其值域为 $\mathbb{R}$。
因此反函数 $g$ 在实轴上连续且严格递增，值域为 $(-3,3)$。由反函数关系，$\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=3$，$\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=-3$，故有两条水平渐近线 $y=3$ 与 $y=-3$。
$g$ 在实轴连续且有界，不存在竖直渐近线；又 $\frac{g(x)}{x}\to 0$，没有非零斜率的斜渐近线。因此渐近线恰为 $y=\pm 3$。

直接求反函数。由 $y=\frac{1}{2}\ln \frac{3+x}{3-x}$，得 $e^{2y}=\frac{3+x}{3-x}$，进而

交换自变量和函数值的字母，得 $g(x)=3\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$。分母恒正，故 $g$ 在实轴连续。正无穷方向将分子分母同除以 $e^{2x}$，得 $g(x)\to 3$；负无穷方向 $e^{2x}\to 0$，得 $g(x)\to -3$。
所以水平渐近线为 $y=3$、$y=-3$。因 $|g(x)|<3$，不存在竖直或非零斜率的斜渐近线。