真题库

微分方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }={\mathrm{e}}^x$满足$y(0)=1,y^{\prime }(0)=1$的特解为 。

设$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有三阶连续导数，且存在可微函数$F(x,y)$使$\mathrm{d}F=\frac{f(xy)}{x^{2}y}\mathrm{d}x+\frac{f^{\prime \prime }(xy)}{x{y}^2}\mathrm{d}y(xy>0)$。

求微分方程$x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-(y^{\prime }{)}^2=0(x>2)$满足$y(3)=\frac{1}{2},y^{\prime }(3)=-9$的解。

设$y_1(x),y_2(x)$是某二阶非齐次线性微分方程的两个特解。若$2\lambda y_1+\mu y_2$是该方程的解，$\lambda y_1-2\mu y_2$是对应齐次方程的解，则（　　）。

微分方程$x{y}^{\prime }-y+x^2{\mathrm{e}}^x=0$满足$y(1)=-\mathrm{e}$的解为 。

微分方程$(2y-3x)\mathrm{d}x+(2x-5y)\mathrm{d}y=0$满足$y(1)=1$的解为 。

若微分方程$y^{\prime \prime }-2a{y}^{\prime }+(a+2)y=0$的任一解$y(x)$都使反常积分${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$收敛，则$a$的取值范围为（　　）。

已知函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，记$g(x,y)=f(\frac{x}{y})$。若$x^2{g}_{xx}+xy{g}_{xy}+y^2{g}_{yy}=1,g(x,x)=1,g_x{|}_{(x,x)}=\frac{2}{x}$，求$f(u)$。

微分方程$y^{\prime }=\frac{1}{(x+y{)}^2}$满足条件$y(1)=0$的解为 。

设$y=y(x)$满足方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=0$，且$y{|}_{x=1}=2,y^{\prime }{|}_{x=1}=6$。

设某公司在$t$时刻的资产为$f(t)$，从 0 时刻到$t$时刻的平均资产等于$\frac{f(t)}{t}-t$。假设$f(t)$连续且$f(0)=0$，则$f(t)=$ 。

若微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$的解在$(-\infty ,+\infty )$上有界，则（　　）。

设曲线$y=y(x)(x>0)$经过点$(1,2)$，该曲线上任一点$P(x,y)$到$y$轴的距离等于该点处切线在$y$轴上的截距。

设曲线$L:y=y(x)(x>\mathrm{e})$经过点$({\mathrm{e}}^2,0)$，且$L$上任一点$P(x,y)$到$y$轴的距离等于该点处切线在$y$轴上的截距。

设函数$y(x)$是微分方程$2x{y}^{\prime }-4y=2\ln x-1$满足条件$y(1)=\frac{1}{4}$的解，求曲线$y=y(x)$在$[1,\mathrm{e}]$上的弧长。

微分方程$y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+5y^{\prime }=0$的通解为$y(x)=$ 。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$满足条件$y(1)=3$的解，求曲线$y=y(x)$的渐近线。

设$n$为正整数，$y=y_n(x)$是微分方程$x{y}^{\prime }-(n+1)y=0$满足条件$y_n(1)=\frac{1}{n(n+1)}$的多项式解，定义在整个实数轴上。

欧拉方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-4y=0$满足条件$y(1)=1,y^{\prime }(1)=2$的解为$y=$ 。

函数$y=y(x)(x>0)$满足微分方程$x{y}^{\prime }-6y=-6$，且$y(\sqrt{3})=10$。