2022 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

（1）解微分方程。因 $x > 0$ ，原式除以 $2 x$ 得 $y^{'} - \frac{2 y}{x} = \frac{( ln x )}{x} - \frac{1}{( 2 x )}$ 。乘积分因子 $x^{- 2}$ ，得

(y x^{- 2})^{'} = \frac{ln x}{x ^{3}} - \frac{1}{2 x ^{3}} .

第一项用分部积分，取 $u = ln x$ 、 $d v = x^{- 3} d x$ ，则 $d u = \frac{d x}{x}$ 、 $v = - \frac{1}{( 2 x ^{2} )}$ ，所以

\int \frac{ln x}{x ^{3}} d x = - \frac{ln x}{2 x ^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{- 3} d x = - \frac{ln x}{2 x ^{2}} - \frac{1}{4 x ^{2}} + C .

第二项的积分为 $\frac{1}{( 4 x ^{2} )}$ ，两项相加后得到 $y x^{- 2} = - \frac{( ln x )}{( 2 x ^{2} )} + C$ ，即 $y = - \frac{( ln x )}{2} + C x^{2}$ 。由 $y (1) = \frac{1}{4}$ 得 $C = \frac{1}{4}$ ，所以 $y = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{( ln x )}{2}$ 。

（2）化简弧长微元。由 $y^{'} = \frac{x}{2} - \frac{1}{( 2 x )}$ ，有

1 + (y^{'})^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x ^{2}} = (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x})^{2} .

在 $[1, e]$ 上 $\frac{x}{2} + \frac{1}{( 2 x )} > 0$ ，故开方取正值。所求弧长为

L = \int_{1}^{e} 1 + (y^{'})^{2} d x = \int_{1}^{e} (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}) d x = [\frac{x ^{2}}{4} + \frac{ln x}{2}]_{1}^{e} = \frac{e ^{2} + 1}{4} .

答案