（1）在 $x>0$ 上按题设令 $x={\mathrm{e}}^t$，记 $Y(t)=y({\mathrm{e}}^t)$。链式法则给出 $Y^{\prime }=x{y}^{\prime }$，再次求导得 $Y^{\prime \prime }=x{y}^{\prime }+x^2{y}^{\prime \prime }$，所以 $x{y}^{\prime }=Y^{\prime }$、$x^2{y}^{\prime \prime }=Y^{\prime \prime }-Y^{\prime }$。原方程化为

（2）特征方程 $r^2-9=0$ 的根为 $\pm 3$，故 $Y=C_1{\mathrm{e}}^{3t}+C_2{\mathrm{e}}^{-3t}$，换回原变量得 $y=C_1{x}^3+C_2{x}^{-3}$。其导数为 $y^{\prime }=3C_1{x}^2-3C_2{x}^{-4}$，代入初值得

解得 $C_1=2,C_2=0$，所以 $y=2x^3$。
（3）核对：$y^{\prime }=6x^2$、$y^{\prime \prime }=12x$，故 $x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=12x^3+6x^3-18x^3=0$，且两个初值均满足。

由第一问，所求积分为 $I={\int }_1^{2}2x^3\sqrt{4-x^2}\mathrm{d}x$。把 $2x\mathrm{d}x$ 与根号内的导数配合，令 $u=4-x^2$，则 $x^2=4-u$、$\mathrm{d}u=-2x\mathrm{d}x$；$x=1$ 时 $u=3$，$x=2$ 时 $u=0$。因此