（1）解初值方程。原方程要求 $x>0$，积分因子为 $\mu (x)={\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}$，故 $(y{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}{)}^{\prime }=(2+\sqrt{x}){\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}$。令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$、$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$，于是

分部积分给出 $\int t{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=(t-1){\mathrm{e}}^t+C$、$\int t^2{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=(t^2-2t+2){\mathrm{e}}^t+C$，所以右端为 $2t^2{\mathrm{e}}^t+C=2x{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}+C$。故 $y=2x+C{\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}$。代入 $y(1)=3$ 得 $C=\mathrm{e}$，即 $y=2x+{\mathrm{e}}^{1-\sqrt{x}}$。

（2）检查竖直与水平渐近线。函数在 $(0,+\infty )$ 内连续有限，且 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y(x)=\mathrm{e}$，故没有竖直渐近线。因 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y(x)=+\infty$，也没有水平渐近线。

（3）求斜渐近线。设其方程为 $y=kx+b$，则

第二个极限由 ${\mathrm{e}}^{1-\sqrt{x}}\to 0$ 得到。因此曲线唯一的渐近线为 $y=2x$。