（1）降阶并作齐次代换。方程不显含 $y$，令 $p=y^{\prime }$，得 $x^2{p}^{\prime }-2xp-p^2=0$，即 $p^{\prime }=\frac{2p}{x}+(\frac{p}{x}{)}^2$。因 $x>2$，再令 $v=\frac{p}{x}$，有 $p=xv$、$p^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$，代入得到 $x{v}^{\prime }=v(1+v)$。初值为 $v(3)=-\frac{9}{3}=-3$。

（2）分离变量。常值 $v=0,-1$ 是降阶方程的解，均不满足初值；由光滑右端的局部唯一性，所求分支不与它们相交。因此可除以 $v(1+v)$，得

代入 $x=3,v=-3$ 得 $C=\frac{1}{2}$。因此 $2v=x(1+v)$，即 $v=\frac{x}{(2-x)}$，从而 $y^{\prime }=p=-\frac{x^2}{(x-2)}$。在 $x>2$ 上此分支有定义并满足初值。

（3）积分求 $y$。由多项式除法，$x^2=(x-2)(x+2)+4$，故

这里 $x-2>0$，故对数不需绝对值。代入 $y(3)=\frac{1}{2}$，得 $-\frac{9}{2}-6+C_2=\frac{1}{2}$，所以 $C_2=11$，所求解为 $y=11-2x-\frac{x^2}{2}-4\ln (x-2)$，$x>2$。

（4）回代核对。由 $y^{\prime }=-\frac{x^2}{(x-2)}$ 得 $y^{\prime \prime }=\frac{x(4-x)}{(x-2{)}^2}$，所以

并且 $y(3)=\frac{1}{2}$、$y^{\prime }(3)=-9$，两初值均满足。