（1）记$H(v)={\int }_0^v\sin (t^3)\mathrm{d}t$。被积函数满足$\sin ((-t{)}^3)=-\sin (t^3)$，是奇函数。令$t=-u$，得

故$H$为偶函数。又$f(x)=H(\sin x)$，所以$f(-x)=H(-\sin x)=H(\sin x)=f(x)$，即$f$是偶函数。
（2）利用$f$的偶性，再次换元$t=-u$，得到

所以$g$为奇函数，选D。
（3）为排除零函数兼具奇偶性的情形，注意$\sin (t^3)>0$在$0<t\le 1$成立，故$f(\frac{\pi }{2})={\int }_0^1\sin (t^3)\mathrm{d}t>0$，$f$不是奇函数，排除A、B。对$0<x<\frac{\pi }{2}$，有$0<\sin x<1$，从而$f(x)>0$，故$g(\frac{\pi }{2})={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(t)\mathrm{d}t>0$，$g$不是偶函数，排除C。