（1）取对数。底数 $\frac{(1+e^x)}{2}$ 恒正且趋于 $1$，而 $\cot x$ 的绝对值趋于无穷。令 $y=[\frac{(1+e^x)}{2}{]}^{\cot x}$，则 $\ln y=\cot x\ln [\frac{(1+e^x)}{2}]$。
（2）计算指数极限。令 $u=\frac{(e^x-1)}{2}\to 0$，由 $\ln (1+u)\sim u$ 与 $e^x-1\sim x$，有 $\ln [\frac{(1+e^x)}{2}]\sim \frac{(e^x-1)}{2}$。于是

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\ln y& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{\sin x}\frac{e^x-1}{2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\cos x\frac{x}{\sin x}\frac{e^x-1}{2x}=\frac{1}{2}.\end{array}$$

三个因子的极限分别为 $1$、$1$、$\frac{1}{2}$，左右两侧都成立。
（3）还原极限。由指数函数连续性，$y\to e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$。注意 $x\to 0^{-}$ 时 $\cot x\to -\infty$，但它与趋于零的对数相乘仍趋于 $\frac{1}{2}$。