2025 · 数学一 · 第 3 题 · 选择题

设函数

f (x)

在区间

[0, + \infty)

上可导，则（　　）。

A
$x \to + \infty lim f (x)$ 存在时， $x \to + \infty lim f^{'} (x)$ 存在
B
$x \to + \infty lim f^{'} (x)$ 存在时， $x \to + \infty lim f (x)$ 存在
C
$x \to + \infty lim \frac{\int _{0}^{x} f ( t ) dt}{x}$ 存在时， $x \to + \infty lim f (x)$ 存在
D
$x \to + \infty lim f (x)$ 存在时， $x \to + \infty lim \frac{\int _{0}^{x} f ( t ) dt}{x}$ 存在
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答案

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（1）证明D。设 $x \to + \infty lim f (x) = A$ 。因 $f$ 可导，故连续，有限区间上的积分存在。任给 $ε > 0$ ，可取 $X > 0$ ，使 $t \geq X$ 时 $∣ f (t) - A ∣ < \frac{ε}{2}$ 。记固定常数 $M = \int_{0}^{X} ∣ f (t) - A ∣ d t$ ，当 $x > X$ 时，

\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t - A \leq \frac{1}{x} \int_{0}^{X} ∣ f (t) - A ∣ d t + \frac{1}{x} \int_{X}^{x} ∣ f (t) - A ∣ d t \leq \frac{M}{x} + \frac{ε}{2} \frac{x - X}{x} < \frac{M}{x} + \frac{ε}{2} .

再令 $x > max {X, \frac{2 M}{ε}}$ ，右侧小于 $ε$ ，故积分平均值趋于 $A$ ，D正确。
（2）A的反例取 $f (x) = \frac{sin ( x ^{2} )}{( 1 + x )}$ 。由 $∣ f (x) ∣ \leq \frac{1}{( 1 + x )}$ 知 $f (x) \to 0$ ，但

f^{'} (x) = \frac{2 x cos ( x ^{2} )}{1 + x} - \frac{sin ( x ^{2} )}{( 1 + x ) ^{2}} .

沿 $x_{n} = 2 nπ$ ，导数趋于 $2$ ；沿 $z_{n} = (2 n + 1) π$ ，导数趋于 $- 2$ 。两个子列极限不同，故导数极限不存在，A错误。
（3）B的反例取 $f (x) = x$ 。其导数恒为 $1$ ，极限存在；但 $f (x) \to + \infty$ ，没有有限极限，B错误。
（4）C的反例取 $f (x) = sin x$ 。此时 $\int_{0}^{x} f (t) \frac{d t}{x} = \frac{( 1 - cos x )}{x} \to 0$ ，但 $sin x$ 在无穷远没有极限，C错误。故选D。

D中若已知极限 $A \neq = 0$ ，则充分大时 $f (x)$ 与 $A$ 同号，且 $∣ f (x) ∣ > \frac{∣ A ∣}{2}$ ，因此 $\int_{0}^{x} f (t) d t$ 趋于相应的有符号无穷。此时可直接按无穷比无穷型应用洛必达法则：

x \to + \infty lim \frac{\int _{0}^{x} f ( t ) d t}{x} = x \to + \infty lim f (x) = A .

对包含 $A = 0$ 的一般情形，前述分段估计统一适用；A、B、C仍由前述反例排除。