（1）令 $u=x-y$、$\phi (u)={\int }_0^u(u-t)f(t)\mathrm{d}t$，则 $F(x,y)=\phi (x-y)$。由于被积函数也含参数 $u$，先拆成

（2）$f$ 连续，变限积分求导定理适用。第一项用乘积法则，两项的上限贡献抵消，得

这里只需 $f$ 连续，不需要假定 $f$ 可导。
（3）由 $u_x=1,u_y=-1$，链式法则给出 $F_x={\phi }^{\prime }(x-y)$、$F_y=-{\phi }^{\prime }(x-y)$，所以 $F_x=-F_y$。再次求导，$F_{xx}={\phi }^{\prime \prime }(x-y)$、$F_{yy}=(-1{)}^2{\phi }^{\prime \prime }(x-y)$，故 $F_{xx}=F_{yy}$，选 C。
（4）取符合条件的 $f(t)\equiv 1$，则 $\phi (u)=\frac{u^2}{2}$、$F=\frac{(x-y{)}^2}{2}$，从而 $F_x=x-y$、$F_y=-(x-y)$，$F_{xx}=F_{yy}=1$。这个反例同时说明 A、B 的一阶等式和 D 的二阶负号不能作为一般结论。