函数为多项式，极值点必须是驻点。求偏导并令其为零：

得到 $x=1$ 或 $2$，$y=1$，故驻点为 $(1,1)$、$(2,1)$。其中 $y^3=1$ 只有一个实根。
二阶偏导为 $A=f_{xx}=12x-18$、$B=f_{xy}=0$、$C=f_{yy}=-72y^2$。在 $(1,1)$ 处，$A=-6$、$C=-72$，故 $AC-B^2=432>0$ 且 $A<0$，为极大值点，极大值为 $f(1,1)=23$。
在 $(2,1)$ 处，$A=6$、$C=-72$，判别式为 $-432<0$，为鞍点。沿 $x$ 方向局部极小、沿 $y$ 方向局部极大，也能看出该点不是二元极值点。因此唯一极值点为 $(1,1)$。本题所问为点的坐标，不能只填极大值 $23$。