在 $(0,1)$ 附近有 $y>0$，对数真数为正，且 $f(0,1)=0$。
（1）固定 $y=1$。因 $\sin 1>0$，关于 $x$ 的差商为

利用 $\ln (1+u)\sim u$，右侧差商趋于 $\sin 1$，左侧差商趋于 $-\sin 1$。两个极限不相等，所以 $f_x(0,1)$ 不存在。绝对值内为零时，不能把其分段求导公式直接代入。
（2）固定 $x=0$，则 $f(0,y)=\ln y$，故 $f_y(0,1)=(\ln y{)}^{\prime }{|}_{y=1}=1$，存在；也可直接用差商 $\underset{k\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+k)}{k}=1$。
所以 $f_x(0,1)$ 不存在而 $f_y(0,1)$ 存在，选 A。B 把两者说反，C、D 分别与第一步、第二步矛盾。