二次型对应的对称矩阵为

其左上二阶主子式为 $24\ne 0$，所以秩至少为 $2$。

计算 $\det M=24(c-3)$。秩为 $2$ 要求行列式为零，故 $c=3$；结合上述非零二阶子式，此时秩确为 $2$。

由第一问，取 $c=3$。因矩阵秩为 $2$，一个特征值为 $0$。另外两个特征值的和为迹 $13$，乘积为三个二阶主子式之和 $24+6+6=36$。

故它们是方程 ${\lambda }^2-13\lambda +36=0$ 的根，即 $4,9$。全部特征值为 $0,4,9$。

实对称矩阵可正交对角化。由第二问求得的特征值 $0,4,9$，在适当正交坐标 $(u,v,w)$ 下，方程化为 $4u^2+9v^2=1$，而 $w$ 为自由变量。

因此该二次曲面是椭圆柱面，其轴方向对应零特征值的特征向量。