1998 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

设矩阵

a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} c_{1} c_{2} c_{3}

是满秩的，则直线

\frac{x - a _{3}}{a _{1} - a _{2}} = \frac{y - b _{3}}{b _{1} - b _{2}} = \frac{z - c _{3}}{c _{1} - c _{2}}

与直线

\frac{x - a _{1}}{a _{2} - a _{3}} = \frac{y - b _{1}}{b _{2} - b _{3}} = \frac{z - c _{1}}{c _{2} - c _{3}}

（　　）。

答案

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记 $P_{i} = (a_{i}, b_{i}, c_{i})$ 。两直线分别为 $P_{3} + s (P_{1} - P_{2})$ 与 $P_{1} + t (P_{2} - P_{3})$ 。矩阵满秩说明 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 线性无关。

取 $s = 1, t = - 1$ ，两式都等于 $P_{1} + P_{3} - P_{2}$ ，故两直线相交。其方向向量不平行，否则三个向量不可能线性无关，所以交于唯一一点，选 A。