$L_1$ 与 $L_2$ 的方向向量分别为 ${\mathbf{v}}_1=(1,0,-1)$、${\mathbf{v}}_2=(2,1,1)$。所求平面含 ${\mathbf{v}}_1$ 且平行于 ${\mathbf{v}}_2$，故法向量可取 $\mathbf{n}={\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2=(1,-3,1)$。

平面过 $(1,2,3)$，所以 $(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0$，即 $x-3y+z+2=0$。