1998 · 数学一 · 第 11 题 · 解答题

设直线

L : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}

，平面

Π : x - y + 2 z - 1 = 0

。完成下列各问：

答案

$\frac{x - 2}{4} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 1}$

$4 (x^{2} + z^{2}) = 17 y^{2} - 2 y + 1$

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平面法向量为 $n = (1, - 1, 2)$ ，原直线方向向量为 $d = (1, 1, - 1)$ 。投影方向为

d_{0} = d - \frac{d \cdot n}{n \cdot n} n = (1, 1, - 1) + \frac{1}{3} (1, - 1, 2),

可取整数倍 $(4, 2, - 1)$ 。

原直线与平面相交于 $(2, 1, 0)$ ，该点投影后不变。因此 $L_{0}$ 为 $\frac{x - 2}{4} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 1}$ 。

由第一问投影直线 $L_{0}$ 的参数式 $x = 2 + 4 t, y = 1 + 2 t, z = - t$ ，消去 $t$ 得 $x = 2 y, z = \frac{( 1 - y )}{2}$ 。

绕 $y$ 轴旋转时，同一高度的半径平方为 $x^{2} + z^{2}$ 。故曲面满足

x^{2} + z^{2} = 4 y^{2} + \frac{( 1 - y ) ^{2}}{4},

即 $4 (x^{2} + z^{2}) = 17 y^{2} - 2 y + 1$ 。