（1）当 $|x|<1$ 时，分母可合并为 $\ln (1+x)+\ln (1-x)=\ln (1-x^2)\sim -x^2$。记 $N(x)=xf(x)-e^{2\sin x}+1$，由题设与乘积极限法则，得

（2）由 $2\sin x=2x+o(x^2)$ 和指数展开，得到 $e^{2\sin x}=1+2x+2x^2+o(x^2)$。所以 $N(x)=x[f(x)-2]-2x^2+o(x^2)$，除以 $x^2$ 并整理为

这一步未预设 $f$ 可导，仅由已知极限求出了新的差商极限。
（3）上述有限极限乘以 $x\to 0$，得到 $f(x)-2\to 0$。再由题设在零点连续，知 $f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=2$。
（4）将 $2=f(0)$ 代回差商，便有 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[f(x)-f(0)]}{x}=5$。按导数定义，$f$ 在零点可导，且 $f^{\prime }(0)=5$。连续性正是将去心极限值与实际函数值联系起来的必要环节。