由${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$及$a={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$，得${\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x=-a$。在该积分中令$x=-t$，则${\int }_0^{1}f(-t)\mathrm{d}t=-a$，所以

对$0<t\le 1$，由$-t<t$及$f$严格递增，得$f(t)-f(-t)>0$；在$t=0$该差为零。又$f$可导故连续，因此被积函数连续、非负且不恒为零，其积分严格为正，故$a>0$。

（1）由于$f$可导且连续，$F$二阶可导，且$F^{\prime }(x)=-2ax+f(x)$，$F^{\prime \prime }(x)=-2a+f^{\prime }(x)$。计算三个特殊点的函数值：

（2）分别对$F$在$[-1,0]$及$[0,1]$使用罗尔定理，存在${\xi }_1\in (-1,0)$、${\xi }_2\in (0,1)$，使$F^{\prime }({\xi }_1)=F^{\prime }({\xi }_2)=0$。由于$F^{\prime \prime }$存在，$F^{\prime }$在$[{\xi }_1,{\xi }_2]$连续且在其内部可导，再对$F^{\prime }$使用罗尔定理，存在$\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (-1,1)$，使$F^{\prime \prime }(\xi )=0$，得证。